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However, theoretical understanding of the solutions to these equations is incomplete. In particular, solutions of the Navier—Stokes equations often include turbulence , which remains one of the greatest unsolved problems in physics , despite its immense importance in science and engineering.

Even more basic properties of the solutions to Navier—Stokes have never been proven. For the three-dimensional system of equations, and given some initial conditions , mathematicians have not yet proved that smooth solutions always exist, or that if they do exist, they have bounded energy.

This is called the Navier—Stokes existence and smoothness problem. Since understanding the Navier—Stokes equations is considered to be the first step to understanding the elusive phenomenon of turbulence , the Clay Mathematics Institute in May made this problem one of its seven Millennium Prize problems in mathematics.

Prove or give a counter-example of the following statement: In three space dimensions and time, given an initial velocity field, there exists a vector velocity and a scalar pressure field, which are both smooth and globally defined, that solve the Navier—Stokes equations.

In mathematics, the Navier—Stokes equations are a system of nonlinear partial differential equations for abstract vector fields of any size.

In physics and engineering, they are a system of equations that models the motion of liquids or non- rarefied gases in which the mean free path is short enough so that it can be thought of as a continuum mean instead of a collection of particles using continuum mechanics.

The equations are a statement of Newton's second law , with the forces modeled according to those in a viscous Newtonian fluid —as the sum of contributions by pressure, viscous stress and an external body force.

Since the setting of the problem proposed by the Clay Mathematics Institute is in three dimensions, for an incompressible and homogeneous fluid, only that case is considered below.

Note that this is a vector equation, i. Writing down the coordinates of the velocity and the external force.

Since in three dimensions, there are three equations and four unknowns three scalar velocities and the pressure , then a supplementary equation is needed.

This extra equation is the continuity equation for incompressible fluids that describes the conservation of mass of the fluid:.

Due to this last property, the solutions for the Navier—Stokes equations are searched in the set of solenoidal " divergence -free" functions.

For this flow of a homogeneous medium, density and viscosity are constants. The pressure p can be eliminated by taking an operator rot alternative notation curl of both sides of the Navier—Stokes equations.

In this case the Navier—Stokes equations reduce to the vorticity-transport equations. There are two different settings for the one-million-dollar-prize Navier—Stokes existence and smoothness problem.

Each case will be treated separately. More precisely, the following assumptions are made:. Condition 1 implies that the functions are smooth and globally defined and condition 2 means that the kinetic energy of the solution is globally bounded.

The functions sought now are periodic in the space variables of period 1. Retrieved November 1, Retrieved July 16, Australian Recording Industry Association.

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Retrieved September 15, Archived from the original on July 24, Retrieved June 1, Retrieved July 11, Swedish Recording Industry Association.

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